Eigenschaften von Dreiecken, Vierecken und Kreisen
Dreiecke, Vierecke und Kreise sind geometrische Formen. Jede dieser Figuren hat spezifische Eigenschaften und Formeln, die in der Geometrie eine wichtige Rolle spielen. Hier lernst du die Eigenschaften, Berechnungen und Anwendungen dieser Formen.
1. Dreiecke
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur mit drei Seiten, drei Ecken und drei Winkeln.
Eigenschaften:
- Die Summe der Innenwinkel beträgt immer $180^\circ$.
- Ein Dreieck kann nach seinen Seiten oder Winkeln klassifiziert werden:
- Nach den Seiten: gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig.
- Nach den Winkeln: spitzwinklig, rechtwinklig, stumpfwinklig.
Wichtige Formeln:
- Fläche eines Dreiecks:
$A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundlinie} \cdot \text{Höhe}$ - Satz des Pythagoras (rechtwinklige Dreiecke):
$a^2 + b^2 = c^2$
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Grundlinie $b = 6 , \text{cm}$ und die Höhe $h = 4 , \text{cm}$. Berechne die Fläche:
$A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12 , \text{cm}^2$
Visualisierung eines Dreiecks:
\begin{tikzpicture} [+preamble] \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=newest} [/preamble] \draw[thick] (0,0) — (4,0) — (2,3) — cycle; \node[below] at (0,0) {$A$}; \node[below] at (4,0) {$B$}; \node[above] at (2,3) {$C$}; \draw[dashed] (2,0) — (2,3); \node[right] at (2,1.5) {$h$}; \node[below] at (2,0) {$b$}; \end{tikzpicture}
2. Vierecke
Ein Viereck ist eine geometrische Figur mit vier Seiten, vier Ecken und vier Winkeln.
Eigenschaften:
- Die Summe der Innenwinkel beträgt immer $360^\circ$.
- Beispiele für Vierecke:
- Rechteck: Alle Winkel $90^\circ$, gegenüberliegende Seiten gleich lang.
- Quadrat: Alle Seiten gleich lang, alle Winkel $90^\circ$.
- Parallelogramm: Gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang.
- Trapez: Mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel.
Wichtige Formeln:
- Fläche eines Rechtecks:
$A = \text{Länge} \cdot \text{Breite}$ - Fläche eines Trapezes:
$A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$
Beispiel:
Ein Trapez hat die Grundseiten $a = 8 , \text{cm}$ und $b = 6 , \text{cm}$ sowie die Höhe $h = 4 , \text{cm}$. Berechne die Fläche:
$A = \frac{1}{2} \cdot (8 + 6) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 4 = 28 , \text{cm}^2$
Visualisierung eines Rechtecks:
\begin{tikzpicture} [+preamble] \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=newest} [/preamble] \begin{axis}[ axis lines=middle, xmin=-1, xmax=5, ymin=-1, ymax=3, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, axis equal, ] \addplot[draw=blue, fill=blue!20] coordinates {(0,0) (4,0) (4,2) (0,2) (0,0)}; \node at (axis cs:2,1) {Fläche}; \end{axis} \end{tikzpicture}
3. Kreise
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt $M$ denselben Abstand (den Radius $r$) haben.
Eigenschaften:
- Der Radius ($r$) ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises.
- Der Durchmesser ($d$) ist die doppelte Länge des Radius: $d = 2r$.
- Der Umfang ist die Länge des Kreisrandes: $U = 2\pi r$.
- Die Fläche eines Kreises wird durch $A = \pi r^2$ berechnet.
Wichtige Formeln:
- Umfang:
$U = 2 \pi r$ - Fläche:
$A = \pi r^2$
Beispiel:
Ein Kreis hat den Radius $r = 3 , \text{cm}$. Berechne den Umfang und die Fläche:
$U = 2 \pi \cdot 3 = 6 \pi \approx 18,85 , \text{cm}$
$A = \pi \cdot 3^2 = 9 \pi \approx 28,27 , \text{cm}^2$
Visualisierung eines Kreises:
\begin{tikzpicture} [+preamble] \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=newest} [/preamble] \draw[thick] (0,0) circle (2); \node[below] at (0,-2) {$r$}; \draw[dashed] (0,0) — (0,-2); \end{tikzpicture}
Zusammenfassung der Formeln
- Dreiecke:
- Fläche: $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h$
- Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$
- Vierecke:
- Rechteck: $A = \text{Länge} \cdot \text{Breite}$
- Trapez: $A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$
- Kreise:
- Umfang: $U = 2\pi r$
- Fläche: $A = \pi r^2$
Übungsaufgaben
- Berechne die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks mit der Grundlinie $b = 10 , \text{cm}$ und der Höhe $h = 6 , \text{cm}$.
- Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von $4 , \text{cm}$. Berechne seine Fläche und seinen Umfang.
- Ein Kreis hat einen Durchmesser von $10 , \text{cm}$. Berechne den Radius, den Umfang und die Fläche.