Gleichungen und Ungleichungen – Einfach Erklärt mit Ausführlichen Beschreibungen
Gleichungen und Ungleichungen sind essenzielle Werkzeuge der Mathematik. Sie ermöglichen es uns, unbekannte Werte zu bestimmen und Beziehungen zwischen Zahlen zu verstehen. In diesem Beitrag lernst du, was lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen und Ungleichungen sind und wie du sie löst – Schritt für Schritt und mit klaren Erklärungen.
1. Was ist eine Gleichung?
Eine Gleichung ist eine mathematische Aussage, die zeigt, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Eine Gleichung enthält oft eine unbekannte Variable, zum Beispiel $x$. Deine Aufgabe ist es, diese Variable so zu berechnen, dass die Gleichung stimmt.
Beispiel für eine Gleichung
$2x + 3 = 7$
Hier bedeutet die Gleichung: Wenn du $2x$ und $3$ addierst, muss das Ergebnis $7$ sein. Deine Aufgabe ist es, herauszufinden, welchen Wert $x$ haben muss, damit die Gleichung wahr ist.
2. Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung ist die einfachste Art von Gleichung. Sie hat die Form: $ax + b = c$
Dabei sind $a$, $b$ und $c$ Zahlen, und $x$ ist die unbekannte Variable.
Wie löse ich eine lineare Gleichung?
Das Ziel ist es, $x$ zu isolieren, indem du Schritt für Schritt die Gleichung umformst.
Schritte:
- Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite und alle konstanten Zahlen auf die andere.
- Teile am Ende durch den Faktor vor $x$.
Beispiel:
Gegeben ist:
$2x + 3 = 7$
- Subtrahiere $3$ von beiden Seiten:
$2x = 4$ - Teile beide Seiten durch $2$:
$x = 2$
Ergebnis: $x = 2$
Warum funktioniert das?
Die Grundidee ist, dass du die Gleichung so umformst, dass $x$ allein steht. Dabei bleiben beide Seiten der Gleichung immer gleich, solange du die gleichen Operationen durchführst.
Aufgaben:
- Löse: $3x – 5 = 10$
- Löse: $5x + 7 = 22$
3. Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, bei der $x^2$ (das Quadrat von $x$) vorkommt. Sie hat die Form: $ax^2 + bx + c = 0$
Hier sind $a$, $b$ und $c$ Zahlen, wobei $a \neq 0$.
Quadratische Gleichungen sind komplexer als lineare Gleichungen, da sie bis zu zwei Lösungen haben können.
Wie löse ich eine quadratische Gleichung?
- Faktorisierung:
Schreibe die Gleichung als Produkt von zwei Klammern:
$(x – p)(x – q) = 0$
Die Lösungen sind dann:
$x = p$ und $x = q$Beispiel:
Gegeben:
$x^2 – 5x + 6 = 0$Faktorisierung:
$(x – 2)(x – 3) = 0$Lösungen: $x = 2$ und $x = 3$
- Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel):
Für alle quadratischen Gleichungen kannst du die Formel verwenden:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$Beispiel:
Gegeben:
$x^2 + 4x – 5 = 0$Setze $a = 1$, $b = 4$ und $c = -5$ in die Formel ein:
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$
$x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$
$x = \frac{-4 \pm 6}{2}$Lösungen: $x = 1$ und $x = -5$
Warum hat eine quadratische Gleichung zwei Lösungen?
Das liegt daran, dass $x^2$ sowohl positiv als auch negativ sein kann (zum Beispiel: $(-2)^2 = 4$ und $2^2 = 4$).
Aufgaben:
- Löse: $x^2 – 3x + 2 = 0$
- Löse: $x^2 + 2x – 8 = 0$
4. Ungleichungen
Eine Ungleichung sagt aus, dass ein Ausdruck größer, kleiner, größer gleich oder kleiner gleich ist als ein anderer. Die Symbole sind:
- $>$: größer als
- $<$: kleiner als
- $\geq$: größer gleich
- $\leq$: kleiner gleich
Wie löse ich eine Ungleichung?
Ungleichungen werden ähnlich wie Gleichungen gelöst, mit einer Ausnahme:
Wenn du durch eine negative Zahl teilst, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.
Beispiel für eine lineare Ungleichung:
Gegeben:
$2x – 3 > 1$
Lösung:
- Addiere $3$ zu beiden Seiten:
$2x > 4$ - Teile beide Seiten durch $2$:
$x > 2$
Antwort: $x > 2$
Wichtig:
Beim Teilen durch eine negative Zahl dreht sich das Zeichen um.
Beispiel:
Gegeben:
$-2x + 4 \leq 6$
- Subtrahiere $4$:
$-2x \leq 2$ - Teile durch $-2$ und drehe das Zeichen:
$x \geq -1$
Aufgaben:
- Löse: $3x – 7 \geq 5$
- Löse: $-4x + 2 < 10$
Zusammenfassung
- Lineare Gleichungen:
Eine einfache Gleichung der Form $ax + b = c$. Löse sie, indem du $x$ isolierst. - Quadratische Gleichungen:
Eine Gleichung mit $x^2$. Verwende die Faktorisierung oder die Mitternachtsformel, um Lösungen zu finden. - Ungleichungen:
Ähnlich wie Gleichungen, aber das Zeichen $>$ oder $<$ zeigt, ob etwas größer oder kleiner ist. Achte darauf, das Zeichen umzudrehen, wenn du durch eine negative Zahl teilst.