Grundlagen und Erweiterungen für Punkte, Linien, Winkel und FlächenErweiterte Lektion mit Formeln: Punkte, Linien, Winkel und Flächen
In dieser erweiterten Lektion lernst du die Grundlagen der Geometrie sowie die Berechnung wichtiger Eigenschaften wie Abstände, Winkel und Flächen.
1. Punkte
Ein Punkt hat keine Größe, sondern gibt nur eine Position im Raum an. Punkte können durch Koordinaten beschrieben werden, z. B. $A(x, y)$.
Formeln zur Berechnung mit Punkten:
- Abstand zwischen zwei Punkten:
Für zwei Punkte $A(x_1, y_1)$ und $B(x_2, y_2)$:
$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
Beispiel:
Berechne den Abstand zwischen $A(1, 2)$ und $B(4, 6)$:
$d = \sqrt{(4 – 1)^2 + (6 – 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
Visualisierung eines Punktes im Koordinatensystem:
\begin{tikzpicture} [+preamble] \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=newest} [/preamble] \begin{axis}[ axis lines=middle, xmin=-1, xmax=5, ymin=-1, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, ] \addplot[only marks, mark=*] coordinates {(2,3)}; \node at (axis cs:2,3.3) {$A(2,3)$}; \end{axis} \end{tikzpicture}
2. Linien
Eine Linie verbindet zwei Punkte und kann in verschiedenen Formen auftreten.
Formeln für Linien:
- Gleichung einer Linie:
Für zwei Punkte $A(x_1, y_1)$ und $B(x_2, y_2)$ ist die Steigung $m$:
$m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$
Die Gleichung der Linie lautet:
$y = m \cdot x + c$
wobei $c$ der y-Achsenabschnitt ist.
Beispiel:
Finde die Gleichung der Linie durch $A(1, 2)$ und $B(4, 6)$.
- Berechne die Steigung:
$m = \frac{6 – 2}{4 – 1} = \frac{4}{3}$ - Bestimme den y-Achsenabschnitt:
Setze $A(1, 2)$ ein:
$2 = \frac{4}{3} \cdot 1 + c \implies c = 2 – \frac{4}{3} = \frac{6}{3} – \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ - Gleichung der Linie:
$y = \frac{4}{3} \cdot x + \frac{2}{3}$
Visualisierung einer Strecke zwischen zwei Punkten:
\begin{tikzpicture} [+preamble] \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=newest} [/preamble] \begin{axis}[ axis lines=middle, xmin=-1, xmax=5, ymin=-1, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, ] \addplot[thick, blue] coordinates {(0,0) (4,4)}; \node at (axis cs:0,0) [below left] {$A(0,0)$}; \node at (axis cs:4,4) [above right] {$B(4,4)$}; \end{axis} \end{tikzpicture}
3. Winkel
Ein Winkel beschreibt den Raum zwischen zwei Strahlen, die sich in einem Punkt treffen.
Formeln für Winkel:
- Berechnung des Winkels zwischen zwei Strahlen:
Gegeben zwei Strahlen mit den Richtungsvektoren $\vec{u} = (u_1, u_2)$ und $\vec{v} = (v_1, v_2)$:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$
Beispiel:
Berechne den Winkel zwischen $\vec{u} = (1, 0)$ und $\vec{v} = (0, 1)$.
- Skalarprodukt:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ - Längen:
$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1, \quad |\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ - Winkel:
$\cos \theta = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0 \implies \theta = 90^\circ$
Visualisierung eines spitzen Winkels:
\begin{tikzpicture} [+preamble] \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=newest} [/preamble] \begin{axis}[ axis lines=middle, xmin=-1, xmax=5, ymin=-1, ymax=5, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, ] \addplot[thick, blue] coordinates {(0,0) (4,0)}; \addplot[thick, red] coordinates {(0,0) (3,3)}; \node at (axis cs:4,0) [below] {$A$}; \node at (axis cs:3,3) [above right] {$B$}; \node at (axis cs:0,0) [below left] {$O$}; \node at (axis cs:2,1) [above right] {$\angle AOB$}; \end{axis} \end{tikzpicture}
4. Flächen
Flächen werden durch geschlossene Linien begrenzt und können berechnet werden.
Formeln für Flächen:
- Fläche eines Rechtecks:
$A = \text{Länge} \cdot \text{Breite}$ - Fläche eines Dreiecks:
$A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundlinie} \cdot \text{Höhe}$
Beispiel:
Berechne die Fläche eines Rechtecks mit Länge $5$ und Breite $3$:
$A = 5 \cdot 3 = 15 , \text{cm}^2$
Visualisierung eines Rechtecks:
\begin{tikzpicture} [+preamble] \usepackage{pgfplots} \pgfplotsset{compat=newest} [/preamble] \begin{axis}[ axis lines=middle, xmin=-1, xmax=5, ymin=-1, ymax=3, xlabel={$x$}, ylabel={$y$}, axis equal, ] \addplot[draw=blue, fill=blue!20] coordinates {(0,0) (4,0) (4,2) (0,2) (0,0)}; \node at (axis cs:2,1) {Fläche}; \end{axis} \end{tikzpicture}
Zusammenfassung der Formeln
- Abstand zwischen zwei Punkten:
$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$ - Gleichung einer Linie:
$y = m \cdot x + c, ; m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$ - Winkel zwischen zwei Vektoren:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ - Flächenberechnung:
Rechteck: $A = \text{Länge} \cdot \text{Breite}$
Dreieck: $A = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundlinie} \cdot \text{Höhe}$