Thomas Heisig

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen sind erweiterte mathematische Werkzeuge, die über die Grundrechenarten hinausgehen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Naturwissenschaft, Technik und Mathematik und ermöglichen es, komplexe Zusammenhänge präzise zu beschreiben. Dieses Thema erklärt die Grundlagen, zeigt Beispiele mit Lösungen und bietet Übungsaufgaben.

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1. Potenzen

Erklärung

Eine Potenz beschreibt die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. Sie wird durch einen Exponenten dargestellt: aⁿ=a⋅a⋅a … (n-mal)

Dabei ist:

• a: die Basis
• n: der Exponent

Beispiele mit Lösungen

1. 2³=2⋅2⋅2=8
   Lösung: Die Potenz ergibt 8.
2. 5²=5⋅5=25
   Lösung: Die Potenz ergibt 25.

Aufgaben

1. Berechne 3⁴
2. Was ergibt 7²
3. Berechne 10³

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2. Wurzeln

Erklärung

Die Wurzel ist die Umkehrung der Potenz und wird als ( ⁿ_Wurzel a) ​ geschrieben. Die häufigste Form ist die Quadratwurze( _Wurzel a) bei der der Exponent n=2n = 2n=2 ist. a ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert  ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt.

Beispiele mit Lösungen

1. 16_wurzel= 4 da 4⋅4 = 16
   Lösung: Die Wurzel ergibt 4.
2. 25_wurzel= 5 da 5⋅5 = 25
   Lösung: Die Wurzel ergibt 5.

Aufgaben

1. Was ist 49_wurzel​?
2. Berechne 100_wurzel​?​
3. Was ergibt 121_wurzel?

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3. Logarithmen

Erklärung

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz. Er gibt an, mit welchem Exponenten die Basis potenziert werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten:

log⁡_b(a)=n bedeutet: b_n=a

Dabei ist

• b: die Basis
• a: der Wert, dessen Logarithmus gesucht wird
• n: der Exponent

Beispiele mit Lösungen

1. log₁₀(100)= 2, da 10²=100
   Lösung: Der Logarithmus ergibt 2.
2. log_⁡2(8)=3 da 2³=8.
   Lösung: Der Logarithmus ergibt 3.

Aufgaben

1. Berechne log⁡₁₀(1000)
2. Was ist log⁡₂(32)
3. Finde log⁡₅(25)

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Zusammenfassung

• Potenzen: Wiederholte Multiplikation einer Zahl, z. B. 2³=8
• Wurzeln: Umkehrung der Potenzen, z. B. 16_wurzel=4
• Logarithmen: Exponent einer Potenz, z. B. log_⁡10(100)=2

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Lösungen zu den Aufgaben

Potenzen

1. 3⁴=3⋅3⋅3⋅3=81
2. 7²=7⋅7=49
3. 10³=10⋅10⋅10=1000

Wurzeln

1. Wurzel aus 49=7
2. Wurzel aus 100=10
3. Wurzel aus 121=11

Logarithmen

1. log_⁡10(1000)=3 da 10³= 1000
2. log_⁡2(32)=5 da 2⁵= 32.
3. log⁡₅(25)=2 da 5² =25.