Berechnung von Volumen und Oberflächen von Körpern
In der Raumgeometrie sind das Volumen und die Oberfläche zentrale Eigenschaften von Körpern. Das Volumen beschreibt den Platz, den ein Körper im Raum einnimmt, während die Oberfläche die gesamte Außenfläche des Körpers darstellt. Hier lernst du die Formeln für Würfel, Kugeln, Zylinder und Pyramiden kennen, ergänzt durch Beispiele.
1. Würfel
Ein Würfel ist ein Körper mit sechs gleich großen quadratischen Flächen.
Formeln:
- Volumen:
$V = a^3$
wobei $a$ die Kantenlänge des Würfels ist. - Oberfläche:
$A = 6 \cdot a^2$
Beispiel:
Ein Würfel hat eine Kantenlänge von $a = 3 , \text{cm}$.
- Volumen:
$V = 3^3 = 27 , \text{cm}^3$ - Oberfläche:
$A = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54 , \text{cm}^2$
2. Kugel
Eine Kugel ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt) den gleichen Abstand $r$ (den Radius) haben.
Formeln:
- Volumen:
$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ - Oberfläche:
$A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$
Beispiel:
Eine Kugel hat einen Radius von $r = 5 , \text{cm}$.
- Volumen:
$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 125 \approx 523.6 , \text{cm}^3$ - Oberfläche:
$A = 4 \cdot \pi \cdot 5^2 = 4 \cdot \pi \cdot 25 \approx 314.16 , \text{cm}^2$
3. Zylinder
Ein Zylinder besteht aus zwei parallelen, gleich großen Kreisen (den Grund- und Deckflächen) und einer gekrümmten Seitenfläche.
Formeln:
- Volumen:
$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$ - Oberfläche:
$A = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$
(Grundfläche + Deckfläche + Mantelfläche)
Beispiel:
Ein Zylinder hat einen Radius $r = 4 , \text{cm}$ und eine Höhe $h = 10 , \text{cm}$.
- Volumen:
$V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 = \pi \cdot 16 \cdot 10 = 160 \pi \approx 502.65 , \text{cm}^3$ - Oberfläche:
$A = 2 \cdot \pi \cdot 4^2 + 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 10 = 2 \cdot \pi \cdot 16 + 2 \cdot \pi \cdot 40 = 32 \pi + 80 \pi = 112 \pi \approx 351.68 , \text{cm}^2$
4. Pyramide
Eine Pyramide hat eine polygonale Grundfläche und dreieckige Seitenflächen, die sich in einer Spitze treffen.
Formeln:
- Volumen:
$V = \frac{1}{3} \cdot \text{Grundfläche} \cdot h$
(Die Grundfläche hängt von der Form der Basis ab.) - Oberfläche:
$A = \text{Grundfläche} + \text{Mantelfläche}$
Beispiel:
Eine quadratische Pyramide hat eine Grundseite $a = 6 , \text{cm}$ und eine Höhe $h = 8 , \text{cm}$.
- Grundfläche:
$\text{Grundfläche} = a^2 = 6^2 = 36 , \text{cm}^2$ - Volumen:
$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 288 = 96 , \text{cm}^3$
Zusammenfassung der Formeln
- Würfel:
- Volumen: $V = a^3$
- Oberfläche: $A = 6 \cdot a^2$
- Kugel:
- Volumen: $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$
- Oberfläche: $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2$
- Zylinder:
- Volumen: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$
- Oberfläche: $A = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$
- Pyramide:
- Volumen: $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Grundfläche} \cdot h$
- Oberfläche: $A = \text{Grundfläche} + \text{Mantelfläche}$
Übungsaufgaben
- Ein Würfel hat eine Kantenlänge von $4 , \text{cm}$. Berechne das Volumen und die Oberfläche.
- Eine Kugel hat einen Durchmesser von $12 , \text{cm}$. Berechne den Radius, das Volumen und die Oberfläche.
- Ein Zylinder hat einen Radius von $3 , \text{cm}$ und eine Höhe von $15 , \text{cm}$. Berechne das Volumen und die Oberfläche.
- Eine Pyramide hat eine dreieckige Grundfläche mit Basis $5 , \text{cm}$, Höhe der Grundfläche $4 , \text{cm}$ und Gesamthöhe $h = 12 , \text{cm}$. Berechne das Volumen.